（一）等价鞅策略与反等价鞅策略

假设有一个赌博游戏：投硬币，你可以随便下注，正面，你的赌注翻倍，反面，你输掉所有的赌注，现在的问题是，我们该如何下注呢？直观来讲，上述游戏输赢应该是持平的，根本无法盈利，实际操作中，你可能输掉所有的钱，也可能盈利成为富翁，如何避免输光所有钱呢？答案在于你下注的技巧。

1、等价鞅策略：就像很多人可以想到的一样，每次下注，输了就将赌注翻倍，这样只要赢一次，本金就回来了，再开始重新下注，将赌注恢复到初始值。这个策略看上去完美，但实际上有致命的缺陷。

第一，我们没有足够大的资本来连续输掉N次以后还能有钱将赌注翻倍，试想如果你初始下注为1元，在你连续输掉第10次时，你下一次的下注额是29=512元，赌注为初始赌注的512倍，这是多么大的一个数值啊，如果我们有那么多的钱，也不会来玩游戏了。实际上，上述等价鞅策略在连续亏损的赌博中，将自己的风险逐步放大的过程。

例如，你的总资本为1000 元，第一次你下注100元，你的仓位为10%，输掉赌注后你还剩900元，第二次你下注200元，你的仓位是200/900=22%，随着你的亏损接踵而至，你的仓位水平越来越高，你的风险越来越大；反之，当你盈利是，你仍然每次只下100元赌注，你的仓位越来越小，这又显得过于保守。

2、反等价鞅策略：每次下注时，都严格按照你所剩资本的一定比例来下注，这样假设资金无限可分，那你永远都有赌资来继续这样的游戏，正所谓“日取其半，万世不竭”就是这个道理，只要你能永远的继续这个游戏下去，哪怕成为百万富翁的概率多么小，也是会成功的，而一旦游戏触及你的“止盈”条件（你已经成为百万富翁了），你就可以终止游戏。

但是，人的本性是遵守等价鞅策略的，你输的越多就越希望把赌注加大，你心理就会想只要我赢一次，我就扳回所有本金了，而当你赢利时，你的赌注就越下越小，因为你想保住利润。既然反等价鞅策略优于等价鞅策略，我们应该每次下所剩资本一定比例的赌注，那么这个比例到底是多少合适呢？凯利公式回答了这一问题。

（二）凯利（KELLY）公式

凯利公式由贝尔实验室的凯利在1956年的论文《A New Interpretation of

Information Rate》提出，是一篇关于电话噪音处理的文章，后来被赌徒发现可以应用在赌博上。

假设有一项赌博游戏，胜率为w，未包含本金赔率为b，则你如果按所剩赌资的如下比例来下注，那么你的财富增长速度最快，这个比例为m：

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看，多么完美简洁的结果，神奇！

例如，我们获胜的概率为40%，赔率为2，也就是说赢时获利是输时的两倍，那么我们每次的下注仓位是

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那么实际上这比例是否是财富增长速度最快的路径呢？我们通过随机模拟来看看结果如何。

设N为博弈次数，xi，i=1,2,...N 为每次博弈胜败结果，获胜时为1，失败时为0，m 博弈下注比例，r为失败时损失金额占下注金额的比例，对于一般赌博游戏而言，r=1，Mi为第i次博弈后的资产总额，则有：

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假设初始投入1000元，连续赌博200次，胜率是40%，赔率为2，我们观察100次赌博后的收益率情况，其中分别采用不同的下注策略：

A策略：m=10%（凯利最优比例）,B策略:m=5%，C策略：m=20%，D策略：m=50%，E策略：m=80%。重复上述模拟赌博游戏10000次，计算其收益率中位数。

由图1可见，策略D和策略E很快把本金亏完，策略C则一直处于小幅亏损状态，而策略A、策略B则处于稳定盈利状态，财富规模稳定增长，且策略A的增长速度最快。图2、图3、图4是仓位水平在0.01至0.90之间的90个采样点下的模拟交易结果。

图1：不同下注比例下的模拟交易结果

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图2：不同下注比例下模拟交易结果1

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图3：不同下注比例下模拟交易结果2

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图4：不同下注比例下模拟交易结果3

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图5：不同下注比例下模拟交易结果4

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二、将凯利公式推广至投机市场

（一）蒙特卡洛模拟结果

凯利公式在博彩中的魅力我们已经见识了，那么如何将其应用到股票或者期货市场中呢？

这里我们必须解决这样一个问题，凯利公式中，若投机失败将亏掉所有赌注，而在投资股市或期市时，我们是不会让本金全部损失才会再采取行动的，我们需要提前设置一个止损位，若价格触及止损位，就会止损出局。那么直观来讲，这个止损位是会影响我们最终的下注比例或者说仓位水平的，我们通过下面一个例子来看看实际的结果。

假如我们投机的胜率是30%（不要以为30%很低，实际上在保证一定的收益风险比基础上我们真实的水平未必能有30%），收益风险比为3，也就说止盈收益率是止损负收益率的3倍，我们选定止损位为1%至100%(区间等间隔切分为100份)，仓位水平选0%至100%(区间等间隔切分为100份), 在不同的止损位，不同的仓位水平下，随机模拟1000次，每次进行投机100次，这样在进行了100*100*1000*100=10亿次计算以后得到如下的收益率关于止损位、仓位水平的关系图。

从图6、图7的模拟结果来看，我们发现如下规律：

（1）不同的止损位水平设置确实对仓位水平的选取有直接影响；

（2）随着止损位的减小，仓位水平应该逐渐提升；

（3）对于最大化收益率的目标，仓位水平的选取与止损位的设置有类似于反比例函数的关系。

图6：考虑止损位下的模拟交易结果1

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图7：考虑止损位下的模拟交易结果2

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图8：考虑止损位下的模拟交易结果3

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（二）最优仓位公式推导

记w:胜率，b:赔率，r:止损位比例，n:投机交易次数，m:仓位比例，M当前拥有的资本金，M/：交易一次之后的资本金余额，显然有：

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因此，如果获胜则M//M = (1+ mbr )，否则有M//M = (1-mr )，在n次这样的投机交易中，由于我们的胜率是w，因此成功的总数为wn，失败的总数为n(1- w)，因此n次交易后：

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对上式取自然对数函数，并令其对m 的一阶倒数为0：

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同时，上述对数函数对m 的二阶导数：

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因此，上述函数在其一阶导数为0处获得极大值。

由此可见，最优资金增长速度下的仓位比例确实与止损位参数有关，它是关于胜率、收益风险比、止损位比例的函数。观察函数可知，胜率越高，仓位水平越高；收益风险比（赔率）越大，仓位越高；止损位比例越低，仓位水平越高。上述关系也是符合直观感受的。

下面我们对仓位控制关于上述三个参数进行情景分析。在胜率30%，收益风险比是2.5、止损位为6%时，我们最优的仓位水平是33%，接近三成的仓位。假如我们能进一步提高胜率，其他不变的情况下胜率达到40%时，我们的最优仓位水平是100%，也就是应该满仓操作。

这听起来有些荒唐，只有四成的胜率就敢满仓操作？其实我们在提出这一疑问的同时应该问问自己，能坚持严格执行6%的止损操作吗？有2.5倍的潜在收益风险比吗？更多的时候我们是坚持一段时间做某一件事，比如每天早上7点钟跑步，坚持一周甚至一个月并不难，难在持续这样的习惯，10年如一日每天晨跑的难度是不可想象的。另外2.5倍的收益风险比也是很难的，更多的时候我们是在追概念股、炒热点、炒强势股，承受着30%的风险去追求恐怕10%都不到的收益。

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